- Tính đạo hàm bậc cao
Để tính đạo hàm cấp k của hàm f(x) ta dùng lệnh sau:
[> diff (f(x), x $ k);
Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp 2 của
f(x) = x^4 + x sin x
Cách 1. [> diff(x^4 + x* sin(x), x$2):
Cách 2. [> diff(x^4 + x* sin(x), x, x);

3. Phép tính tích phân
- Tính tích phân xác định
Sử dụng lệnh [> int (f(x), x = a.. b);
Ví dụ 1. (Đại học Thương mại, 1998). Tính tích phân từ 0 đến ln2 của hàm 1/ (e^x + 5)
int(1/(exp(1)^x + 5), x = 0..ln(2));
Ví dụ 2. (Đại học Bách khoa Hà Nội,1998). Tính tích phân từ 0 đến Pi của
f(x) = | cos x| sqrt (sin x).
int(abs(cos(x))* sqrt(sin(x)), x = 0.. Pi);
Ví dụ3. Tính tích phân từ 1 đến Pi của
f(x) = (sin x)/x

int(sin(x)/x, x = 1..Pi);
- Tính tích phân không xác định
Sử dụng lệnh [> int(f(x), x); trong đó f(x) là hàm cần lấy tích phân.
Ví dụ. Tính tích phân không xác định của hàm: (3*x^2 + 3*x + 3)/ (x^3 - 3*x + 2);
int((3*x^2 + 3*x + 3)/ (x^3 - 3*x + 2), x);
- Tính tích phân suy rộng
Sử dụng lệnh [> int (f(x), x = a.. infinity);
Ví dụ . Tính tích phân từ 0 đến dương vô cùng của hàm f(x) = x/(x^4 + 1).

int(x/(x^4 + 1), x = 0..infinity);

4. Tính diện tích hình thang cong
Đưa về tính tích phân xác định.
Ví dụ 1. (ĐH Đông Đô, 1998). Tính diện tích hình giới hạn bởi đường cong y = x^2 và y =sqrt(x).
+ Bước 1. Xác định giao điểm của 2 đường cong trên.
+ Bước 2. Vẽ đồ thị của 2 hàm số trên một hệ
Một hệ toạ độ để minh hoạ.
+ Bước 3. Tính tích phân
solve(x^2-sqrt(x),x);
> plot({x^2,sqrt(x)},x=0..1);
>int(sqrt(x) - x^2, x=0..1);

- Xấp xỉ hình thang cong bằng các hình chữ nhật
+ Bước 1. Mở gói công cụ with(student);
+ Bước 2. Sử dụng một trong các lệnh
Rightbox, leftbox, middlebox.
Ví dụ. Xấp xỉ hình thang cong giới hạn bởi đường y = x^4 lnx
with(student);
> rightbox(x^4*ln(x), x = 2.. 4);
> middlebox(x^4*ln(x), x = 2..4);

5. Tính thể tích khối tròn xoay
Thể tích khối tròn xoay tạo bởi một hình thang cong giới hạn bởi y = f(x), trục ox , x = a, y = b. Được tính bằng công thức int (Pi f^2(x), x = a..b).

Ví dụ. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi ox , y = sin(x), x = 0..Pi
Int(Pi*(sin(x))^2, x = 0..Pi):
> value(");
Ta có thể vẽ đồ thị của khối tròn xoay tạo thành khi quay xung quanh ox:
implicitplot3d(-sin(x)^2 + y^2 + z^2=0, x = 0..Pi, y = 0..1, z = 0..1);
6. Hàm xác định từng khúc
Tính đạo hàm
Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm từng khúc sau:

p:=x->piecewise(x < 0, -1, x > 1, 2*x, x^2):
> p(x):
> p_prime:=diff(p(x),x);
Tính tích phân của hàm từng khúc
Ví dụ. Tính tích phân của hàm từng khúc sau
expr:= piecewise(x <=-1, -x, x<= 1, x^2, x > 1, sin(x-1)):
> anti:=int(expr,x);
7. Khai triển hàm số theo chuỗi luỹ thừa
Ví dụ. Khai triển hàm sin(4x) cos (x) thành chuỗi tại điểm x = 0.
expr:=sin(4*x)*cos(x):
> approx1:= series(expr, x = 0):
> Order:= 12:
> approxi2:= series(expr, x = 0):
> poly:= convert(approxi2, polynom):
> plot({expr, poly}, x = -1..1, y = -2..2, color = [red, blue]);


Chương V. Phương trình Vật lý - Toán
Để giải phương trình vi phân ta sử dụng gói công cụ sau
>restart;
>with(DEtools);
Chú ý D(y) là đạo hàm bậc nhất của y, D(D)(y)(x) là đạo hàm bậc 2 của y theo x.
1. Phương trình vi phân thường
Muốn giải phương trình vi phân thường ta sử dụng lệnh > dsolve({deq, x(t0) = x0},x(t));
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân tách biến

D(x)(t) = 2/(t^2 - 1)
dsolve(D(x)(t) = 2/(t^2 - 1),{x(t)});
> convert(x(t)= -2*arctanh(t) + _C1,ln);
Ví dụ. Giải phương trình vi phân sau:
D(x)(t) = -((t*(x^2 - 1))/((t^2 - 1)*x)),{x(t)};
dsolve (D(x)(t) = -((t*(x^2 - 1))/((t^2 - 1)*x)),{x(t)});
Ví dụ 2. Giải phương trình vi phân thuần nhất.
D(x)(t) = (2*t*x)/(t^2 - x^2).
dsolve(D(x)(t) = (2*t*x)/(t^2 - x^2), {x(t)});

Ví dụ 3. Giải phương trình vi phân tuyến tính sau:
(dx/dt + p(t) = f(t).)
y` + y = x + 2
diff_eq:= D(y)(x) + y(x) = x + 2:
> dsolve({diff_eq},{y(x)});
Phương trình không giải được qua đạo hàm
F(x, dx/dt, t) = 0.
Ví dụ 4. Giải phương trình vi phân
(dx/dt)^2 - (x + t) dx/dt + xt = 0.

dsolve((D(x)(t))^2 - (x + t)*D(x)(t) + x*t, {x(t)});

2. Phương trình vi phân bậc cao
Ví dụ. Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai: y`` - 3y` - 10 y = sin x + 3 cos x với điều kiện ban đầu y(0) = 1, y`(0) = 1.
+ Bước 1. Nhập phương trình bằng lệnh
[> dif_eq:=
+ Bước 2. Vào dữ kiện ban đầu [> init_con :=
+ Bước 3. Giải phương trình bằng lệnh [> dsolve


diff_eq:= D(D(y))(x) - 3*D(y)(x) - 10* y = sin(x) + 3* cos(x);
> init_con:= y(0) = 1, D(y)(0) = 1;
> dsolve({diff_eq, init_con},{y(x)});
3. Hệ phương trình vi phân thường
+ Bước 1. Gán tên cho hệ
+ Bước 2. Gán tên cho nghiệm
+ Bước 3. Đưa vào lệnh giải.
Ví dụ. Giải hệ phương trình vi phân sau:
dy/dx = z(x), dz/dx = = y(x) với điều kiện:
y(0) = 0, z(0) = 2.
sys:={diff(y(x),x) = z(x), diff(z(x),x) = y(x), y(0) = 0, z(0) = 2};
> fcns:= {y(x),z(x)};
> dsolve(sys,fcns);
5. Vẽ đồ thị nghiệm của phương trình vi phân
Ta nhập các dòng lệnh sau
[> with(DEtools):
[> (DEplot)(deqns, vars, trange, inits, xrange, yrange, eqns);
Trong đó
Dqns : Khai các phương trình vi phân bậc nhất hoặc một phương trình vi phân bậc cao.
Vars : Các biến phụ thuộc.
Trange : Miền thay đổi của biến độc lập.
inits : Điều kiện ban đầu của đường cong nghiệm cần vẽ.
Xrange : Miền thay đổi của biến 1.
Yrange : Miền thay đổi của biến 2.
Eqns: Các tuỳ chọn (màu, tiêu đề, độ đậm , nhạt của đồ thị.)

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị nghiệm của phương trình vi phân sau: cos(x)y``` - y`` + Pi y` = y - x, với các điều kiện ban đầu: y(0) = 1, y`(0) = 2, y``(0) = 1, biến x [-2.5 ; 1.4], y trong khoảng [-4; 5].
DEplot({cos(x)*diff(y(x),x$3) - diff(y(x),x$2) + Pi*diff(y(x),x) = y(x) - x}, {y(x)}, x = -2.5..1.4, [[y(0) = 1, D(y)(0) = 2, (D@@2)(y)(0) = 1]], y = -4..5, stepsize = 0.05 );
Ví dụ 2. Vẽ đồ thị nghiệm của hệ phương trình vi phân sau:

x` = x( 1 - y)
y` = 0,3y(x - 1).
Biến đọc lập t trong khoảng [-7; 7] . Điều kiện ban đầu [x(0) = 1.2, y(0) = 1.2] hoặc [x(0) = 1, y(0) = 0,7].
DEplot({diff(x(t), t) = x(t)*( 1 - y(t)), diff(y(t),t) = 0.3*y(t)*(x(t) - 1)}, [x(t), y(t)], t = -7..7, [[x(0) = 1.2, y(0) = 1.2], [x(0) = 1, y(0) = 0.7]], stepsize = 0.2, title = `Lotka - Volterra model`);